বিন্যাস এবং সমাবেশ হলো গণিতের গুরুত্বপূর্ণ দুটি ধারণা, যা প্রধানত কম্বিনেটরিক্সে ব্যবহৃত হয়।

১. বিন্যাস (Permutation)

বিন্যাস হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানোর পদ্ধতি। যখন কোনো সেটের বস্তুর ক্রমানুসারে সাজানো হয়, তখন সেটি বিন্যাস নামে পরিচিত।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \( A, B \) এবং \( C \) তিনটি বস্তুকে কতভাবে সাজানো যায়। এখানে সম্ভাব্য সব বিন্যাসগুলো হবে \( ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA \), অর্থাৎ মোট ৬টি।

বিন্যাসের সূত্র

\( n \)টি ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা বের করার জন্য ব্যবহার করা হয়:

\[
P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}
\]

এখানে \( n! \) মানে \( n \) এর ফ্যাক্টোরিয়াল, অর্থাৎ \( n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 1 \)।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(5\)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে:

\[
P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60
\]

২. সমাবেশ (Combination)

সমাবেশ হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে যে কোনো ক্রমে নিয়ে একটি সেট তৈরি করা। সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, শুধুমাত্র বস্তুর উপস্থিতিই গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \( A, B \) এবং \( C \) তিনটি বস্তুর সমাবেশের সম্ভাব্য সব উপায় বের করতে হবে যদি দুটি বস্তুর সমাবেশ প্রয়োজন হয়। এখানে সম্ভাব্য সমাবেশগুলো হবে \( AB, AC, BC \), অর্থাৎ মোট ৩টি।

সমাবেশের সূত্র

\( n \)টি ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তুর সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়:

\[
C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n - r)!}
\]

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(5\)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে:

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10
\]

মূল পার্থক্য

• বিন্যাসে ক্রমানুসারে সাজানো গুরুত্বপূর্ণ। তাই বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হলে, সেটি আলাদা বিন্যাস হিসেবে গণ্য হয়।
• সমাবেশে ক্রমানুসার গুরুত্বপূর্ণ নয়। তাই শুধু উপস্থিতিই গুরুত্ব রাখে।

এই ধারণাগুলো গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্র, যেমন সম্ভাবনা ও পরিসংখ্যান, এবং বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ।

বিন্যাস হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানোর পদ্ধতি। যখন কোনো সেটের বস্তুর ক্রমানুসারে সাজানো হয়, তখন সেটি বিন্যাস নামে পরিচিত।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $A, B$ এবং $C$ তিনটি বস্তুকে কতভাবে সাজানো যায়। এখানে সম্ভাব্য সব বিন্যাসগুলো হবে $ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA$, অর্থাৎ মোট ৬টি।

\( n! \) দ্বারা \( n \) এর ফ্যাক্টোরিয়াল বোঝানো হয়, যা গণিতের একটি বিশেষ অপারেশন। ফ্যাক্টোরিয়াল কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর নির্ভরশীল এবং এর মান নির্ণয় করা হয় সেই সংখ্যাটির সাথে তার চেয়ে ছোট সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল হিসাবে।

ফ্যাক্টোরিয়াল নির্ণয়ের নিয়ম

\( n \) এর ফ্যাক্টোরিয়াল, \( n! \) দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর মান নির্ণয় করা হয়:

\[
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1
\]

যেখানে \( n \) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উদাহরণ:

• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 1! = 1 \)

এছাড়াও, শূন্যের ফ্যাক্টোরিয়াল \( 0! = 1 \) হিসাবে সংজ্ঞায়িত, যা ফ্যাক্টোরিয়ালের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

ফ্যাক্টোরিয়াল কেন গুরুত্বপূর্ণ?

ফ্যাক্টোরিয়াল বিভিন্ন গণিত, পরিসংখ্যান, এবং সম্ভাবনার সমস্যায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে বিন্যাস এবং সমাবেশ সমস্যায় ফ্যাক্টোরিয়াল ব্যবহার করে বিভিন্ন উপায়ে বস্তু বা উপাদান সাজানো বা নির্বাচনের সংখ্যা নির্ণয় করা হয়।

বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র এবং এর ব্যবহার গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। বিন্যাস হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তুকে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো, যেখানে ক্রমানুসার গুরুত্বপূর্ণ।

বিন্যাসের বিভিন্ন সূত্র ও তার প্রয়োগ

১. \( n \) টি বস্তু থেকে \( r \) টি বস্তু নিয়ে বিন্যাসের সংখ্যা

যখন \( n \)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নির্বাচিত করে বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হয়, তখন সেই বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় করা হয় নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা:

\[
P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}
\]

এখানে:

• \( n \) হলো মোট বস্তু সংখ্যা।
• \( r \) হলো নির্বাচিত বস্তু সংখ্যা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তু নির্বাচন করে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় করতে হবে।

\[
P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60
\]

অর্থাৎ, \(5\)টি ভিন্ন বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তু নির্বাচন করে ৬০টি ভিন্ন উপায়ে সাজানো যায়।

২. যখন সবগুলো বস্তুই ব্যবহার করতে হবে (পূর্ণ বিন্যাস)

যখন \( n \)টি বস্তু আছে এবং সেগুলো সবগুলোই ব্যবহার করতে হবে, তখন \( r = n \) ধরে পূর্ণ বিন্যাস বের করা হয়। এই অবস্থায়:

\[
P(n, n) = n!
\]

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(4\)টি ভিন্ন বস্তু আছে এবং সেগুলিকে কতভাবে সাজানো যায় তা বের করতে হবে।

\[
P(4, 4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]

অর্থাৎ, \(4\)টি ভিন্ন বস্তু দিয়ে \(4\)টি বস্তু নিয়ে সাজানোর মোট ২৪টি উপায় রয়েছে।

৩. পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাস (Permutation with Repetition)

যদি \( n \)টি বস্তু থাকে এবং প্রতিটি বস্তুকে \( r \) বার করে ব্যবহার করা যায়, তাহলে পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাসের সংখ্যা হবে:

\[
n^r
\]

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(3\)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু (\(A\), \(B\), \(C\)) রয়েছে এবং প্রতিটি বস্তুকে \(2\) বার ব্যবহার করার অনুমতি আছে। তখন বিন্যাসের সংখ্যা হবে:

\[
3^2 = 9
\]

অর্থাৎ, \( A \), \( B \), এবং \( C \) দিয়ে \(2\) বার করে ৯টি ভিন্ন ভিন্ন ক্রমে বিন্যাস তৈরি করা যাবে।

৪. পুনরাবৃত্তি সহ বিন্যাস, যেখানে কিছু বস্তু পুনরাবৃত্তি হয় (Permutation of Multiset)

যদি \( n \)টি বস্তু থাকে এবং তার মধ্যে কিছু বস্তুর পুনরাবৃত্তি ঘটে, তবে বিন্যাসের সূত্র হয়:

\[
\frac{n!}{p_1! \times p_2! \times \dots \times p_k!}
\]

যেখানে:

• \( p_1, p_2, \dots, p_k \) হলো পুনরাবৃত্ত বস্তুর সংখ্যা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, "AAB" এই তিনটি অক্ষরের বিন্যাস বের করতে হবে। এখানে \(A\) অক্ষরটি ২ বার এসেছে এবং \(B\) একবার।

\[
\frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3
\]

অর্থাৎ, "AAB" দিয়ে ৩টি ভিন্নভাবে বিন্যাস করা সম্ভব: \(AAB\), \(ABA\), এবং \(BAA\)।

বিন্যাসের প্রয়োগ

১. নির্দিষ্ট আসনে বসানো: একটি টেবিলে নির্দিষ্ট আসনে মানুষ বা বস্তুর বিন্যাস বের করতে।
২. সংকেত বা কোড তৈরি: বিভিন্ন সংকেত বা কোড তৈরিতে, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
৩. পাসওয়ার্ড তৈরি: বিভিন্ন অক্ষর বা সংখ্যার ভিন্ন ক্রমে পাসওয়ার্ড তৈরি করতে।
৪. সম্ভাব্যতা: সম্ভাবনায় বিভিন্ন ঘটনার বিন্যাস বের করতে।

বিন্যাসের এই সূত্র এবং প্রয়োগের মাধ্যমে সহজেই বিভিন্ন কম্বিনেটরিক্স সমস্যার সমাধান করা যায়, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।

সমাবেশ বা Combination হলো গণিতের একটি ধারণা, যা নির্দিষ্ট কিছু বস্তু বা উপাদানকে ক্রমানুসার বিবেচনা না করে নির্বাচন বা গঠনের জন্য ব্যবহৃত হয়। সমাবেশে বস্তুগুলো কেবল উপস্থিত থাকে, কিন্তু ক্রম (Order) গুরুত্বপূর্ণ নয়। অর্থাৎ, $A$ এবং $B$ দুইটি বস্তুর জন্য $AB$ এবং $BA$ একই সমাবেশ হিসেবে গণ্য হবে।

সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র এবং এর প্রয়োগ কম্বিনেটরিক্সে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সমাবেশ হলো নির্দিষ্ট কিছু বস্তুর নির্বাচন, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র

১. \( n \) টি বস্তু থেকে \( r \) টি বস্তুর সমাবেশ

যখন \( n \)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নির্বাচিত করা হয় এবং ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, তখন সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করা হয় এই সূত্র দিয়ে:

\[
C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n - r)!}
\]

এখানে:

• \( n \) হলো মোট বস্তু সংখ্যা।
• \( r \) হলো নির্বাচিত বস্তু সংখ্যা।
• \( n! \) হলো \( n \)-এর ফ্যাক্টোরিয়াল।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(5\)টি ভিন্ন বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে হবে।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10
\]

অর্থাৎ, \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার মোট ১০টি উপায় রয়েছে।

২. পূর্ণ সমাবেশ বা সবগুলো বস্তুর সমাবেশ

যখন \( r = n \) অর্থাৎ সবগুলো বস্তুই নির্বাচন করতে হবে, তখন সমাবেশের সংখ্যা সবসময় একটিই হবে, কারণ বস্তুর সংখ্যা এবং নির্বাচনের সংখ্যার পার্থক্য নেই। সুতরাং,

\[
C(n, n) = 1
\]

৩. শূন্য বস্তুর সমাবেশ

কোনো বস্তু না নিয়ে সমাবেশ তৈরি করলে এর সংখ্যা সবসময় একটিই হয় (শূন্য সেট)। অর্থাৎ,

\[
C(n, 0) = 1
\]

৪. পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশ (Combination with Repetition)

যদি \( n \)টি বস্তু থাকে এবং প্রতিটি বস্তুকে একাধিকবার নির্বাচন করা যায়, তখন পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশের সংখ্যা হবে:

\[
C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r! \times (n - 1)!}
\]

এখানে:

• \( n \) হলো ভিন্ন বস্তুর সংখ্যা।
• \( r \) হলো নির্বাচিত বস্তুর সংখ্যা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, \(3\)টি ফল (যেমন আপেল, কমলা, কলা) থেকে \(2\)টি ফল নির্বাচন করতে হবে এবং প্রতিটি ফল একাধিকবার নির্বাচন করা যাবে। তাহলে পুনরাবৃত্তি সহ সমাবেশ হবে:

\[
C(3 + 2 - 1, 2) = C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]

সমাবেশের প্রয়োগ

১. দল গঠন: একটি দলের নির্দিষ্ট সদস্যদের নির্বাচন করতে, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। যেমন, \(10\) জন ছাত্র থেকে \(3\) জনকে নির্বাচন করা।

২. সংগ্রহ নির্বাচন: নির্দিষ্ট সংখ্যক বই থেকে কয়েকটি বই নির্বাচন করা, যেখানে বইগুলোর ক্রম প্রয়োজনীয় নয়।

৩. কার্ড গেমস: তাসের গেমে বিভিন্ন কার্ডের সমষ্টি নির্বাচন করা। যেমন, \(52\) কার্ড থেকে \(5\)টি কার্ড নির্বাচন।

৪. উপাদানের সম্ভাব্য সংমিশ্রণ: রান্নার বিভিন্ন উপাদান বা রাসায়নিক উপাদান নির্বাচন করা, যেখানে উপাদানের ক্রম কোনো পরিবর্তন আনে না।

৫. সম্ভাবনা: সম্ভাবনা নির্ণয়ে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ তৈরি করা, যেখানে শুধু উপস্থিতির ভিত্তিতে গণনা করা হয়।

মূল পার্থক্য: বিন্যাস বনাম সমাবেশ

• বিন্যাসে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ, তাই বিভিন্ন ক্রমে সাজানো হলে সেটি আলাদা গণ্য হয়।
• সমাবেশে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, ফলে শুধু উপস্থিতি গুরুত্বপূর্ণ।

সমাবেশ কম্বিনেটরিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, এবং এটি বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে সহায়ক, যেখানে শুধুমাত্র নির্বাচিত বস্তুগুলোর উপস্থিতি গুরুত্বপূর্ণ, ক্রম নয়।

সম্পূরক সমাবেশ (Complementary Combination) হলো এমন একটি ধারণা, যা একটি সেট থেকে নির্বাচিত সমাবেশের পরিপূরক সমাবেশ (complement) নির্ণয় করে। এটি কম্বিনেটরিক্সে ব্যবহৃত হয় তখন, যখন আমাদের জানতে হয় যে নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু নির্বাচন না করে কতভাবে সমাবেশ করা যায়।

ধরা যাক, একটি সেটে \( n \)টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তু রয়েছে, এবং আমরা এই সেট থেকে \( r \)টি বস্তু নিয়ে একটি সমাবেশ গঠন করতে চাই। তখন এই নির্বাচনের পরিপূরক হবে \( (n - r) \) সংখ্যক বস্তু নিয়ে সমাবেশ গঠন।

সম্পূরক সমাবেশের ধারণা

যদি \( C(n, r) \) দ্বারা \( n \)টি বস্তুর মধ্যে থেকে \( r \)টি বস্তু নিয়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা বোঝায়, তাহলে \( C(n, n - r) \) হবে সম্পূরক সমাবেশ, অর্থাৎ অবশিষ্ট \( (n - r) \) বস্তু নিয়ে সমাবেশ গঠনের সংখ্যা।

সূত্র:

\[
C(n, r) = C(n, n - r)
\]

এটি সম্পূরক সমাবেশের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, যেটি বলে যে \( n \) বস্তু থেকে \( r \)টি বস্তু নির্বাচন করার সমাবেশের সংখ্যা এবং \( (n - r) \)টি বস্তু নির্বাচন করার সমাবেশের সংখ্যা সমান।

উদাহরণ:

ধরা যাক, আমাদের কাছে \( 5 \)টি বস্তু আছে \((A, B, C, D, E)\), এবং আমরা \( 2 \)টি বস্তু নির্বাচন করতে চাই।

• \( C(5, 2) \) হলো ৫টি বস্তু থেকে ২টি বস্তু নিয়ে সমাবেশের সংখ্যা, যা হবে:

\[
C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times (5 - 2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
\]

এই সমাবেশগুলির জন্য ১০টি উপায় আছে। এখানে আমরা \( 2 \)টি বস্তুর সমাবেশ নির্বাচন করেছি।

• এর সম্পূরক সমাবেশ হবে \( C(5, 3) \), অর্থাৎ অবশিষ্ট \( 3 \)টি বস্তু নির্বাচন করা।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]

এখানেও ১০টি উপায় পাওয়া যায়। তাই, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে \( C(5, 2) = C(5, 3) \)।

সম্পূরক সমাবেশের প্রয়োগ:

১. বিকল্প সমাবেশ নির্ণয়ে: যখন নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান না নিয়ে অবশিষ্ট উপাদান দিয়ে সমাবেশ গঠন করতে হয়।
২. সম্ভাবনায়: একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ঘটনা না ঘটার ক্ষেত্রে সম্ভাব্য সমাবেশ সংখ্যা নির্ণয়ে।
৩. পরিসংখ্যানে: বিভিন্ন বিকল্প বা পরিপূরক সমষ্টি নিয়ে কাজ করার সময়।

সম্পূরক সমাবেশের মাধ্যমে একটি সেটের ভিন্ন উপায়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা নির্ণয় করা সহজ হয়, যা কম্বিনেটরিক্সের অনেক সমস্যার সমাধানে সহায়ক।

শর্তাধীন সমাবেশ (Conditional Combination) হলো একটি সমাবেশ নির্ণয়ের পদ্ধতি, যেখানে নির্দিষ্ট কিছু শর্ত প্রয়োগ করা হয়। এটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যখন সমাবেশ তৈরি করতে কিছু নির্দিষ্ট নিয়ম বা শর্ত পূরণ করতে হয়। শর্তাধীনে সমাবেশের প্রয়োগ বিভিন্ন সমস্যায় ব্যবহৃত হয়, যেমন: কিছু নির্দিষ্ট উপাদান অবশ্যই থাকতে হবে বা কিছু উপাদান একসঙ্গে বা আলাদা থাকতে হবে ইত্যাদি।

শর্তাধীন সমাবেশের উদাহরণ ও প্রয়োগ

শর্তাধীন সমাবেশের বিভিন্ন প্রয়োগে বিভিন্ন শর্ত থাকা সম্ভব। নিচে এর কয়েকটি উদাহরণ ও প্রয়োগ তুলে ধরা হলো:

উদাহরণ ১: নির্দিষ্ট উপাদান অবশ্যই থাকবে

ধরা যাক, আমাদের কাছে \(5\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D,\) এবং \(E\)। আমরা \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) অবশ্যই নির্বাচিত হবে।

এক্ষেত্রে, \(A\) থাকলে বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(2\)টি বস্তু নির্বাচন করতে হবে।

\[
C(4, 2) = \frac{4!}{2! \times (4 - 2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]

অর্থাৎ, \(A\) থাকা অবস্থায় বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(2\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৬টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ২: নির্দিষ্ট উপাদান থাকতে পারবে না

ধরা যাক, \(5\)টি বস্তু (\(A, B, C, D, E\)) থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে হবে, তবে শর্ত হলো \(B\) নির্বাচন করা যাবে না।

এক্ষেত্রে, বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তু নির্বাচন করতে হবে।

\[
C(4, 3) = \frac{4!}{3! \times (4 - 3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4
\]

অর্থাৎ, \(B\) বাদ দিয়ে বাকি \(4\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৪টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ৩: নির্দিষ্ট দুটি উপাদান একসাথে থাকবে

ধরা যাক, \(6\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D, E, F\)। আমরা \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকবে।

যেহেতু \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকবে, সেগুলিকে একত্রে একটি একক উপাদান হিসেবে ধরা যায়। এখন \(A\) এবং \(B\) একত্রে থাকলে মোট \(5\)টি বস্তু (\(AB, C, D, E, F\)) থেকে \(3\)টি সমাবেশ করতে হবে।

\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
\]

অর্থাৎ, \(A\) এবং \(B\) একসাথে রেখে বাকি \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ১০টি উপায় রয়েছে।

উদাহরণ ৪: নির্দিষ্ট দুটি উপাদান একসাথে থাকতে পারবে না

ধরা যাক, \(6\)টি বস্তু আছে: \(A, B, C, D, E, F\)। আমরা \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করতে চাই, তবে শর্ত হলো \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকতে পারবে না।

এক্ষেত্রে, প্রথমে \(4\)টি বস্তুর সমাবেশের মোট সংখ্যা বের করতে হবে, তারপর \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকার সমাবেশের সংখ্যা বিয়োগ করতে হবে।

১. \(6\)টি বস্তু থেকে \(4\)টি বস্তুর মোট সমাবেশ:

\[
C(6, 4) = \frac{6!}{4! \times (6 - 4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
\]

২. \(A\) এবং \(B\) একসাথে থাকার সমাবেশের সংখ্যা:

\(AB\) একত্রে ধরে, মোট \(5\)টি বস্তু থেকে \(3\)টি বেছে নিতে হবে।

\[
C(5, 3) = 10
\]

সুতরাং, \(A\) এবং \(B\) একসাথে না থাকার সমাবেশের সংখ্যা:

\[
15 - 10 = 5
\]

অর্থাৎ, \(A\) এবং \(B\) একসাথে না রেখে \(4\)টি বস্তুর সমাবেশ তৈরি করার ৫টি উপায় রয়েছে।

শর্তাধীন সমাবেশের প্রয়োগ

১. দল গঠন: শর্তাধীনে দল গঠন করতে, যেখানে নির্দিষ্ট কিছু সদস্য অবশ্যই থাকতে হবে বা কিছু সদস্য একসাথে থাকতে পারবে না।

২. কাজের বরাদ্দ: নির্দিষ্ট কাজের দলে নির্দিষ্ট কর্মী রাখতে হবে বা বাদ দিতে হবে এমন ক্ষেত্রে।

৩. গাণিতিক সমস্যা সমাধানে: কম্বিনেটরিক্স বা সম্ভাবনা সমস্যায় নির্দিষ্ট শর্ত পূরণের সমাধানে শর্তাধীন সমাবেশ ব্যবহার করা হয়।

উপসংহার

শর্তাধীন সমাবেশের মাধ্যমে বিভিন্ন বাস্তব পরিস্থিতিতে নির্দিষ্ট শর্ত মেনে সমাবেশ তৈরি করা সহজ হয়। এটি কম্বিনেটরিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়, যেখানে নির্দিষ্ট শর্ত মেনে নির্বাচন করতে হয়।